Program Linear Samar /Fuzzy Linear Progamming (FLP) (skripsi dan tesis)

Menurut George J. Klir dan Bo Yuan (1995),bentuk umum model program linear samar sama dengan bentuk umum model program linear biasa. Model matematika program linear samar yaitu sebagai berikut:

Dengan Aij, Bi, Cj  adalah bilangan-bilangan samar dan Xj adalah variabel-variabel yang berupa bilangan samar ; dengan operasi-operasi penambahan dan perkalian menggunakan operasi-operasi aritmatika fuzzy, dan ػmenunjukkan pengurutan bilangan-bilangan samar.

Menurut Allahviranloo, dkk (2008), metode-metode yang digunakan untuk menyelesaikan dapat dikategorikan menjadi dua macam, yaitu metodeberdasarkan kesamaran parameter-parameter keputusan dan metode berdasarkan kesamaran variabel-variabel keputusan. Menurut Allahviranloo, dkk (2008), Buckley dan Feuring memperkenalkan sebuah jenis dari masalah program linear samar yang disebut fully fuzzified linear programming. Masalah FFLP merupakan hasil generalisasi kesamaran parameter-parameter keputusan dan kesamaran variabel-variabel keputusan, sehingga seluruh parameter-parameter keputusan dan variabel-variabel keputusan adalah bilangan-bilangan samar.

Untuk menggambarkan beberapa konsep yang telah diberikan terlihat berkaitan, maka berikut ini akan dibahas beberapa contoh dari masalah program linear fuzzy dengan metode yang ada

Metode-Metode Dalam Linier Programming (skripsi dan tesis)

Dalam memecahkan dan menyelesaikan masalah linier programming diperlukan alternatif yang terbaik mengenai alokasi sumber daya yang terbatas dalam proses produksi untuk menghasilkan kombinasi jumlah produk yang optimal agar dapat menghasilkan keuntungan yang maksimal. Menurut Tjutju Tarliah Dimyati dan Ahmad Dimyati dalam bukunya “Operation Research” (2003,38) untuk menyelesaikan masalah linier programming terbagi dalam dua metode yaitu metode umum dan metode khusus.

Adapun penyelesaian metode linier programming secara umum adalah:

a.                  Metode Grafik

Metode grafik hanya diterapkan untuk memecahkan masalah-masalah linier programming yagn menyangkut dua variabel keputusan (atau tiga variabel dengan grafik tiga dimensi). Terdapat lima langkah dalm menyelesaikan permasalahan linier programming dengan menggunakan metode grafik (Handoko, 2000:), yaitu:

1)      Merumuskan masalah dalam bentuk matematikal (maksimumkan atau minimumkan).

2)      Menggambarkan persamaan-persamaan batasan.

3)      Menentukan daerah fisibel (feasible area).

4)      Menggambarkan fungsi tujuan

5)      Mencari titik optimum.

Daerah fisibel (feasible area) dari programa linier adalah set dari seluruh titik yang memenuhi seluruh pembatas, termasuk pembatas tanda. Untuk persoalan maksimasi, solusi optimal dari persoalan programa linier adalah suatu titik pada daerah fisibel dengan nilai fungsi tujuan terbesar. Pada persoalan minimasi, solusi optimal adalah suatu titik pada daerah fisibel dengan nilai fungsi tujuan terkecil (Dimyati dan Dimyati, 2003).

b.                  Metode Simpleks

Metode simpleks adalah suatu prosedur aljabar, yang melalui serangkaian operasi-operasi berulang, dapat memecahkan suatu masalah yang terdiri dari tiga variabel atau lebih. Untuk masalah-masalah dengan empat variabel keputusan atau empat persamaan batasan, perhitungan nyata sebaiknya menggunakan program komputer “QS3” (Quantitative System Three).

Taha (2003), mengemukakan pendapatnya mengenai metode simpleks sebagai berikut : The simplex method is an iterative process that starts at a feasible corner point, normally the origin and systematically moves from one feasible extreme point to another until the optimum point is eventually reaced. Artinya, metode simpleks adalah suatu proses berulang-ulang yang dimulai dari sudut daerah fisibel, secara beraturan dan sistematis yang bergerak dari satu titik daerah fisibel ke daerah lainnya sampai titik yang paling optimal.

Langkah-langkah penyelesaian dengan menggunakan metode simpleks (Pangestu , Marwan dan Handoko, 2000), yaitu:

1)        Merubah fungsi tujuan dan batasan-batasan.

Fungsi tujuan diubah menjadi fungsi implisit, artinya semua C_jX_ij bergeser ke kiri. Pada bentuk standar, semua batasan mempunyai tanda ≤ ketidaksamaan ini harus diubah menjadi kesamaan dengan menambah slack variabel (X_n+1, X_n+2,…..X_n+m).

2)        Menyusun persamaan-persamaan ke dalam tabel.

Setelah formulasi dirubah, kemudian disusun kedalam tabel.

3)        Memilih kolom kunci.

Kolom kunci adalah kolom yang mempunyai dasar untuk mengubah tabel. Pilihlah kolom yang mempunyai nilai pada garis fungsi tujuan yang bernilai negatif dengan angka terbesar. Jika suatu tabel tidak memiliki nilai negatif pada baris fungsi tujuan, maka tabel tersebut tidak bisa dioptimalkan lagi ( sudah optimal).

4)        Memilih baris kunci.

Baris kunci adalah merupakan baris dasar untuk merubah tabel. Untuk itu carilah dahulu indek tiap-tiap baris dengan cara membagi nilai-nilai pada kolom NK dengan nilai yang sebaris pada kolom kunci.

Index =

Nilai baris kunci dirubah dengan cara membagi dengan angka kunci. Kemudian gantilah variabel dasar pada baris itu dengan variabel yang terdapat dibagian atas kolom kunci.

5)        Merubah nilai-nilai baris kunci.

Nilai baris kunci diubah dengan cara membaginya dengan angka kunci.

6)        Merubah nilai-nilai selain pada baris kunci

Nilai-nilai baris yang lain, selain pada baris kunci dapat diubah dengan rumus sebagai berikut :

Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci) x nilai baru baris kunci.

7)        Melanjutkan perbaikan-perbaikan/perubahan-perubahan.

Ulangi langkah-langkah perbaikan mulai langkah 3 sampai langkah 6 untuk memperbaiki tabel-tebel yang telah diubah/diperbaiki nilainya. Perubahan baru berhenti setelah pada baris pertama (fungsi tujuan) tidak ada yang bernilai negatif.

c.                   Metode Penalty (Teknik M)

Untuk menyelesaikan persoalan linear programming dengan pembatas bertanda ≥ dan atau =, diperlukan adanya variabel dummy (variabel palsu) yang disebut variabel artifisial, sehingga variabel basis awal bisa tetap ada. Variabel artifisial ini hanya digunakan untuk memulai solusi, dan harus dihilangkan pada akhir solusi. Untuk menghilangkannya harus diberikan penalty M (M bilangan positif yang sangat besar) pada setiap variabel artifisial dalam fungsi tujuannya dengan menggunakan teknik M (Dimyati dan Dimyati, 2003)

Metode Penyelesaian secara khusus adalah:

1)                  Metode transportation

Yaitu metode yang digunakan untuk membahas masalah pemilihan rite dalam jaringan pendistribusian produk atau komoditas dari sejumlah sumber (supply) kepada sejumlah tujuan (demand) dengan tujuan meminimumkan total biaya transportasi.

2)                  Model transshipment

Adalah model transportasi yang memungkinkan dilakukannya pengiriman barang (komoditas) dengan cara tidak langsung, dimana barang dari suatu sumber dapat berada pada sumber lain atau tujuan lain sebelum mencapai tujuan akhir. Jadi pada model ini suatu sumber sekaligus dapat berperan sebagai tujuan dan sebaliknya tujuan dapat juga berperan sebagai sumber.

3)                  Model penugasan (Assignment model)

Merupakan suatu kasus khusus dari model transportasi dimana sejumlah sumber m ditugaskan kepada sejumlah n tujuan (satu sumber untuk satu tujuan) sedemikian sehingga didapat ongkos yang minimum.

Formulasi dan bentuk umum linier programming (skripsi dan tesis)

            Dalam model LP dikenal dua macam fungsi, yaitu: fungsi tujuan dan fungsi batasan. Fungsi tujuan adalah fungsi yang menggambarkan tujuan/sasaran yang berkaitan dengan pengaturan secara optimal sumber daya-sumber daya, untuk memperoleh keuntungan maksimal atau biaya minimal. Sedangkan fungsi batasan merupakan bentuk penyajian secara matematis batasan-batasan kapasitas yang tersedia yang akan dialokasikan secara optimal ke berbagai kegiatan.

            Masalah keputusan yang sering dihadapi adalah alokasi optimum sumber daya terbatas yang ditunjukkan sebagai maksimasi keuntungan atau minimasi biaya. Setelah masalah diidentifikasi, tujuan/sasaran yang ingin dicapai ditetapkan, langkah selanjutnya adalah formulasi model matematis yang meliputi tiga tahap berikut (Mulyono, 2004):

a.         Menentukan variabel keputusan (unsur-unsur dalam persoalan yang dapat dikendalikan)

b.         Membentuk fungsi tujuan yang ditunjukkan sebagai suatu hubungan linier dari variabel keputusan.

c.         Menentukan batasan masalah

            Dalam pembahasan model Linier Programing digunakan simbol-simbol sebagai berikut:

m      : macam batasan-batasan sumber atau fasilitas yang tersedia

n       : macam kegiatan yang menggunakan sumber atau fasilitas tersebut

i        : nomor setiap macam sumber atau fasilitas yang tersedia (i: 1,2,3,…n)

j        : nomor setiap macam kegiatan yang menggunakan sumber atau fasilitas yang tersedia (j: 1,2,…n)

X_j     : tingkat kegiatan ke j (j: 1,2,…n)

a_ij      : banyak sumber i yang diperlukan untuk menghasilkan setiap unit keluaran atau output kegiatan (i: 1,2,3,…m) dan (j: 1,2,…n)

b_i      : banyak sumber i yang tersedia untuk dialokasikan kesetiap unit kegiatan (i: 1,2,3,…m)

Z       : nilai yang dioptimalkan (maksimum atau minimum)

C_i      : kenaikan nilai Z apabila ada pertambahan tingkat kegiatan (X_j)

            Dengan satu satuan (unit) atau merupakan sumbangan setiap satuan keluaran kegiatan terhadap nilai Z. Keseluruhan simbol-simbol diatas saelanjutnya disusun kedalam bentuk tabel standart LP seperti pada table dibawah ini :

Tabel 2.1. Tabel data untuk model linier Programing

Kegiatan Sumber	Pemakaian sumber per unit kegiatan  1         2         3         4      .    .    .     n	Kapasitas sumber
1 2 3 . . . M	a11      a12      a13     a14     .    .    .    n1n    a21         a22      a23     a24     .    .    .    n2n     a31      a32      a33     a34     .    .    .    a3n     .          .         .        .       .     .    .      .     .         .          .        .       .      .    .      .     .         .          .        .       .      .     .     .   am1   am2   am3    am4   .      .     . amn	b1 b2 b3 . . . bm
Z pertambahan tiap  unit tingkat kegiatan	C1      C2      C3     C4    .       .    .    Cn   X1      X2       X3      X4    .     .     .     Xn

            Atas dasar tabel diatas kemudian dapat disusun model matematis yang dapat digunakan untuk mengemukakan suatu permasalahan LP sebagai berikut :

➢       Fungsi Tujuan

Maksimum (minimum) Z = C₁X₁+C₂X₂+C₃X₃+C₄X₄+…+C_nX_n

➢       Batasan-batasan

a₁₁X₁+a₁₂X₂+a₁₃X₃+a₁₄X₄+……+a_1nX_n  (  ) b₁

a₂₁X1+a₂₂X₂+a₂₃X₃+a₂₄X₄+…   +a_2nX_n   (  )  b₂

_.

_.

_.

A_m1X₁+a_m2X₂+a_m3X₃+a_m4X₄+…..+a_mnX_n  ( )  b_m

Dan

            Menurut (Dimyati dan Dimyati, 2003), dalam penggunaan Linier Programming, ada beberapa asumsi yang perlu diperhatikan. Asumsi-asumsi itu adalah sebagai berikut:

a.               Asumsi kesebandingan (proportionality)

1)   Kontribusi setiap variabel keputusan terhadap fungsi tujuan adalah sebanding dengan nilai variabel keputusan.

2)   Kontribusi suatu variabel keputusan terhadap ruas kiri dari setiap pembatas juga sebanding dengan nilai variabel keputusan itu.

b.              Asumsi penambahan (additivity)

1)   Kontribusi setiap variabel keputusan terhadap fungsi tujuan bersifat tidak bergantung pada nilai dari variabel keputusan yang lain

2)   Kontribusi suatu variabel keputusan terhadap ruas kiri dari setiap pembatas bersifat tidak bergantung pada nilai dari variabel keputusan yang lain.

c.               Asumsi pembagian (divisibility)

Dalam persoalan linier programming, variabel keputusan boleh diasumsikan berupa bilangan pecahan.

d.              Asumsi kepastian (certainty)

Setiap parameter, yaitu koefisien fungsi tujuan, ruas kanan dan koefisien teknologis, diasumsikan dapat diketahui secara pasti.

Analisis Linier Programing (skripsi dan tesis)

            Linier Programing (LP) merupakan suatu cara untuk menyelesaikan persoalan pengalokasian sumber-sumber yang terbatas diantara beberapa aktivitas yang bersaing dengan cara yang terbaik yang mungkin dilakukan. Satu hal yang menjadi ciri situasi diatas adalah adanya keharusan untuk mengalokasian sumber terhadap aktivitas. Sifat “linier” memberi arti bahwa seluruh fungsi matematis dalam model ini merupakan fungsi yang linier, sedangkan kata “programa” merupakan sinonim untuk perencanaan. Maka Linier Programing juga merupakan perencanaan aktivitas-aktivitas untuk memperoleh suatu hasil yang optimal, yaitu suatu hasil yang mencapai tujuan terbaik diantara seluruh alternatif yang fisibel (Mustafa dan Parkhan, 2000).

Strategi Perencanaan Agregat (skripsi dan tesis)

Strategi perencanaan agregat dapat dilakukan melalui analisis sensitivitas terhadap pilihan kapasitas, pilihan permintaan dan pilihan campuran dari keduanya. Strategi dapat berjalan dan berfungsi apabila memiliki tahapan umum untuk membuat suatu perencanaan produksi agregat sebagai berikut :

a.       Menentukan permintaan untuk setiap periode perencanaan.

b.      Menentukan kapasitas pada setiap periode.

c.       Menelusuri kebijakan departemen yang berhubungan.

d.      Menentukan biaya per unit untuk setiap kerja, lembur, sub kontrak, persediaan dan biaya lain yang relevan.

e.       Mengembangkan alternatif perencanaan dan menghitung biayanya.

f.       Jika perencanaan yang memuaskan telah tersusun, maka diseleksi yang paling tepat sesuai tujuannya, jika tidak terbentuk maka kembali kepada tahap 5.

Ruang lingkup perencanaan agregat dapat dilihat pada Gambar berikut. Langkah ini untuk perusahaan yang make to stock. Bila perusahaan make to order, maka peramalan tidak perlu dilakukan (cukup dengan daftar order pelanggan saja).

Persyaratan dalam perencanaan produksi adalah menentukan prakiraan. Peramalan diprediksi berdasarkan tingkat permintaan secara keseluruhan. Menurut Baroto (2002), strategi pilihan perencanan agregat dapat dilakukan dengan rincian pilihan keputusan sebagai berikut :

a.       Pilihan Kapasitas Dasar Produksi

1)      Mengubah tingkat persediaan, manajer dapat meningkatkan persediaan selama periode permintaan rendah untuk memenuhi permintaan yang tinggi di masa depan dengan tidak mengesampingkan biaya-biaya akibat peningkatan persediaan tersebut.

2)      Menyeragamkan jumlah tenaga kerja dengan cara pengangkatan atau memberhentikan karyawan. Disesuaikan dengan tingkat produksi dan akibatnya.

3)      Menyeragamkan tingkat produksi melalui lembur atau waktu kosong, dengan tujuan menjaga agar tenaga kerja tetap konstan.

4)      Sub kontrak, sebuah perusahaan dapat memperoleh kapasitas sementara dengan melakukan sub kontrak selama periode permintaan tinggi.

5)      Penggunaan karyawan paruh waktu, untuk mengisi kebutuhan tenaga kerja yang tidak terampil.

b.      Pilihan Permintaan

1)      Mempengaruhi permintaan. Ketika permintaan rendah, perusahaan dapat meningkatkan permintaan melalui iklan, promosi, kewiraniagaan dan diskon.

2)      Tunggakan pesanan selama periode permintaan tinggi. Strategi hanya dilakukan jika perusahaan tidak mampu memenuhi permintaan. Oleh karena itu, perusahaan harus memperhatikan loyalitas pelanggan karena dapat menyebabkan kehilangan penjualan.

3)      Perpaduan produk dan jasa yang counter seasonal, (Perusahaan dapat memproduksi produk yang berbeda pada musim yang berbeda).

c.       Pilihan Campuran

1)      Strategi perburuan, yaitu mengatur tingkat produksi sesuai dengan permintaan yang diprediksi melalui variasi pilihan-pilihan di atas.

2)      Strategi bertingkat, yaitu menjaga tingkat output, nilai produksi, atau jumlah tenaga kerja yang tetap sepanjang horizon perencanaan